绝对值不等式的解法
解绝对值不等式的关键是去绝对值符号,等价转化为不含绝对值符号的不等式,用已有方法求解。带绝对值符号的不等式叫绝对值不等式。
一、 绝对值定义法
对于一些简单的,一侧为常数的含不等式绝对值,直接用绝对值定义即可,
1、如|x| < a在数轴上表示出来。利用数轴可将解集表示为−a< x < a
2、|x| ≥ a同理可在数轴上表示出来,因此可得到解集为x≥ a或x≤ a
3、|ax +b| ≥ c型,利用绝对值性质化为不等式组−c ≤ ax + b ≤ c,再解不等式组。
二、平方法
对于不等式两边都是绝对值时,可将不等式两边同时平方。
解不等式 |x+ 3| > |x− 1|将等式两边同时平方为(x + 3)2 > (x − 1)2得到x2 + 6x + 9 > x2 − 2x + 1之后解不等式即可,解得x > −1
三、零点分段法
对于不等式中含有有两个及以上绝对值,且含有常数项时,一般使用零点分段法。例 解不等式|x + 1| + |x − 3| > 5
在数轴上可以看出,数轴可以分成x < −1,−1 ≤ x < 3, x ≥ 3三个区间,由此进行分类讨论。
当x < −1时,因为x + 1 < 0, x − 3 < 0所以不等式化为 −x− 1 −x + 3 > 5解得x < −322.当−1 ≤x < 3时, 因为x + 1 > 0,x− 3 < 0所以不等式化为x + 1 − x + 3 > 5无解。
当 x ≥ 3时 因为x + 1 > 0 ,x − 3 > 0所以不等式化为x + 1 + x− 3 > 5解得x >72综上所述,不等式的解为x < −32或x >72。
扩展资料
1、实数的绝对值的概念
(1)|a|的几何意义
|a|表示数轴上实数a对应的点与原点之间的距离.
(2)两个重要性质
①(ⅰ)|ab|=|a||b|
②|a|<|b|⇔a2
(3)|x-a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,或数轴上表示x-a的点到原点的距离.
(4)|x+a|的几何意义:数轴上实数x对应的点与实数-a对应的点之间的距离,或数轴上表示x+a的点到原点的距离。
2、绝对值不等式定理
(1)定理:对任意实数a和b,有|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
(2)定理的另一种形式:对任意实数a和b,有|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≤0时,等号成立.
绝对值不等式定理的完整形式:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.
其中,(1)|a+b|=|a|-|b|成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;
(2)|a+b|=|a|+|b|成立的条件是ab≥0;
(3)|a-b|=|a|-|b|成立的条件是ab≥0,且|a|≥|b|;
(4)|a-b|=|a|+|b|成立的条件是ab≤0.
绝对值不等式需要化正吗
准确地说是根据不等式的性质把自变量前面的负号去掉,比如将 -x变为x。这样是为了计算简便。一般情况下是这样的。看具体的情况吧。但是前提是你一定要掌握不等式的解法和绝对值的概念。
高中绝对值解法
概念含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax^2 bx c>0或ax^2 bx c<0(a不等于0),其中ax^2 bx c实数域上的二次三项式。
一元二次不等式的解法 1)当V("V"表示判别是,下同)=b^2-4ac>=0时,二次三项式,ax^2 bx c有两个实根,那么ax^2 bx c总可分解为a(x-x1)(x-x2)的形式。这样,解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的并集。
还是举个例子吧。
2x^2-7x 6<0
利用十字相乘法
2 -3
1 -2
得(2x-3)(x-2)<0
然后,分两种情况讨论:
一、2x-3<0,x-2>0
得x<1.5且x>2。不成立
二、2x-3>0,x-2<0
得x>1.5且x<2。
得最后不等式的解集为:1.5
另外,你也可以用配方法解二次不等式:
2x^2-7x 6
=2(x^2-3.5x) 6
=2(x^2-3.5x 3.0625-3.0625) 6
=2(x^2-3.5x 3.0625)-6.125 6
=2(x-1.75)^2-0.125<0
2(x-1.75)^2<0.125
(x-1.75)^2<0.0625
两边开平方,得
x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25
x<2且x>1.5
得不等式的解集为1.5
关键词: 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的几种解法 实数绝对值的概念 绝对值不等式定理 高中绝对值解法 绝对值不等式需要化正吗
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