二次根式的加减实质是什么？二次根式分母可以为零吗？

• 2023-01-09 16:09:33 来源：民企网

二次根式的加减知识点汇总

次根式计算——二次根式的加减

二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

(1)判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。

(2)二次根式的加减分三个步骤：

①化成最简二次根式;

②找出同类二次根式;

③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

【类型一】二次根式的加减运算

方法总结：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并时系数相加减，根式不变.

【类型二】二次根式的化简求值

先化简，再求值：÷，其中a=2+，b=2-.

解析：先将原式化为最简形式，再将a与b的值代入计算即可求出.

解：原式=÷=·=.当a=2+，b=2-时，原式===.

方法总结：化简求值时一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值.化简时不能跨度太大，缺少必要的步骤易造成错解.

【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用

母亲节快到了，为了表示对妈妈的感恩，小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2，他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他手上现有1.2m长的金色细彩带，请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗?如果不够，还需买多长的金色细彩带(≈1.414，结果保留整数)?

解析：先求出每张正方形壁画的边长，再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.

解：镶壁画所用的金色细彩带的长为：4×(+)=4×(20+15)=140≈197.96(cm).因为1.2m=120cm<197.96cm，所以小号的金色细彩带不够用.197.96-120=77.96≈78(cm)，即还需买78cm的金色细彩带.

方法总结：利用二次根式来解决生活中的问题，应认真分析题意，注意计算的正确性与结果的要求.

二次根式的加减实质是什么

合并最简二次根式

二次根式的加减，要先把每个二次根式化成最简二次根式，然后再合并最简二次根式，所以二次根式的加减实质上是合并最简二次根式

二次根式加减混合运算技巧

先算乘方(或开方)，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算.

【注意】

(1)原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用.

(2)进行根式运算时，要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法和技巧，一遍使运算过程简便.二次根式运算结果必须是最简二次根式.另外，与根式相乘的因数若是带分数，必须写成假分数.

1、二次根式在加减时：需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。

2、乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式。

3、二次根式的混合运算先乘方(或开方)、再乘除、最后加减、有括号的先算括号里面的、能利用运算律或乘法公式进行运算的、可适当改变运算顺序进行简便运算。

4、在运算过程中、多项式乘法、乘法公式和有理数式中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。

5、先对分子、分母因式分解、能约分的就约分、能开方的就开方、或先对被开方数进行通分、然后再通过分母有理化进行化简。

6、二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容、初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。

二次根式分母可以为零吗

二次根式要求被开方数为非负数且分母不能为零

例1、要使式子√(a+3)/(a-1)有意义，求a的取值范围。

分析：要使上面的式子有意义，则要使二次根式有意义，且分母不为0。

即a+3≥0且a-1≠0，

解得a≥-3且a≠1。

例2、求使代数式√(2a-3)/(3-a)有意义的a的取值范围。

分析：被开方数是非负数且分母不为0。

2a-3≥0且3-a≠0，

解得a≥3/2且a≠3。

例3、若无论x取任何实数，二次根式√(x^2+12x+m)都有意义，求m的取值范围。

分析同上，先将被开方数配方。

x^2+12x+m=(x+6)^2+m-36≥0，

因为x为任意实数，且(x+6)^2≥0，所以只需m-36≥0即可。

解得m≥36。

当m≥36时，二次根式总有意义。

例4、已知(x+3)^2+√(4x-3y+3)=0，求√(xy)的值。

分析：根据完全平方数及被开方数的非负性可得

x+3=0，

4x-3y+3=0。

解之得x=-3，y=-3。

所以√(xy)=√(-3×)(-3)=√9=3。

例5、已知3+√3与3-√3的小数部分分别是m，n。求4m+3n-5的值。

分析：1<√3<2，所以4<3+√3<5，1<3-√3<2，m，n分别是其小数部分，所以m=√3-1，n=2-√3。

故4m+3n-5

=4(√3-1)+3(2-√3)-5

=4√3-4+6-3√3-5

=√3-3。

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