二次根式的加减知识点汇总
次根式计算——二次根式的加减
二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
(1)判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。
(2)二次根式的加减分三个步骤:
①化成最简二次根式;
②找出同类二次根式;
③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并
【类型一】二次根式的加减运算
方法总结:二次根式相加减,先把各个二次根式化成最简二次根式,再把被开方数相同的二次根式进行合并,合并时系数相加减,根式不变.
【类型二】二次根式的化简求值
先化简,再求值:÷,其中a=2+,b=2-.
解析:先将原式化为最简形式,再将a与b的值代入计算即可求出.
解:原式=÷=·=.当a=2+,b=2-时,原式===.
方法总结:化简求值时一般是先化简为最简分式或整式,再代入求值.化简时不能跨度太大,缺少必要的步骤易造成错解.
【类型三】二次根式加减运算在实际生活中的应用
母亲节快到了,为了表示对妈妈的感恩,小号同学特地做了两张大小不同的正方形的壁画送给妈妈,其中一张面积为800cm2,另一张面积为450cm2,他想如果再用金色细彩带把壁画的边镶上会更漂亮,他手上现有1.2m长的金色细彩带,请你帮他算一算,他的金色细彩带够用吗?如果不够,还需买多长的金色细彩带(≈1.414,结果保留整数)?
解析:先求出每张正方形壁画的边长,再根据正方形的周长公式求所需金色细彩带的长.
解:镶壁画所用的金色细彩带的长为:4×(+)=4×(20+15)=140≈197.96(cm).因为1.2m=120cm<197.96cm,所以小号的金色细彩带不够用.197.96-120=77.96≈78(cm),即还需买78cm的金色细彩带.
方法总结:利用二次根式来解决生活中的问题,应认真分析题意,注意计算的正确性与结果的要求.
二次根式的加减实质是什么
合并最简二次根式
二次根式的加减,要先把每个二次根式化成最简二次根式,然后再合并最简二次根式,所以二次根式的加减实质上是合并最简二次根式
二次根式加减混合运算技巧
先算乘方(或开方),再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算.
【注意】
(1)原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用.
(2)进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法和技巧,一遍使运算过程简便.二次根式运算结果必须是最简二次根式.另外,与根式相乘的因数若是带分数,必须写成假分数.
1、二次根式在加减时:需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。
2、乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式。
3、二次根式的混合运算先乘方(或开方)、再乘除、最后加减、有括号的先算括号里面的、能利用运算律或乘法公式进行运算的、可适当改变运算顺序进行简便运算。
4、在运算过程中、多项式乘法、乘法公式和有理数式中的运算律在二次根式的运算中仍然适用。
5、先对分子、分母因式分解、能约分的就约分、能开方的就开方、或先对被开方数进行通分、然后再通过分母有理化进行化简。
6、二次根式的化简是初中阶段考试必考的内容、初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。
二次根式分母可以为零吗
二次根式要求被开方数为非负数且分母不能为零
例1、要使式子√(a+3)/(a-1)有意义,求a的取值范围。
分析:要使上面的式子有意义,则要使二次根式有意义,且分母不为0。
即a+3≥0且a-1≠0,
解得a≥-3且a≠1。
例2、求使代数式√(2a-3)/(3-a)有意义的a的取值范围。
分析:被开方数是非负数且分母不为0。
2a-3≥0且3-a≠0,
解得a≥3/2且a≠3。
例3、若无论x取任何实数,二次根式√(x^2+12x+m)都有意义,求m的取值范围。
分析同上,先将被开方数配方。
x^2+12x+m=(x+6)^2+m-36≥0,
因为x为任意实数,且(x+6)^2≥0,所以只需m-36≥0即可。
解得m≥36。
当m≥36时,二次根式总有意义。
例4、已知(x+3)^2+√(4x-3y+3)=0,求√(xy)的值。
分析:根据完全平方数及被开方数的非负性可得
x+3=0,
4x-3y+3=0。
解之得x=-3,y=-3。
所以√(xy)=√(-3×)(-3)=√9=3。
例5、已知3+√3与3-√3的小数部分分别是m,n。求4m+3n-5的值。
分析:1<√3<2,所以4<3+√3<5,1<3-√3<2,m,n分别是其小数部分,所以m=√3-1,n=2-√3。
故4m+3n-5
=4(√3-1)+3(2-√3)-5
=4√3-4+6-3√3-5
=√3-3。
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